柿×食う＝客 ③ 手計算でやってみる
一昨日から、算数パズル「かき×くう＝きゃく」を、マクロによる総当たり計算で解いてみている。これについて、実際の解法についても話題となったので、私なりに解いてみることにした。
様々な解法があるのは間違いない。あくまで、回答の一つということで。
まず、「く」に着目した。２個登場するうえ、一桁目は繰り上がりを考慮する必要が無いので。
この「く」がとりうる値について考えてみる。
◆ く＝０の場合
く＝０の場合、「くう」が一桁になってしまう。
従って、く≠０である。
◆ く＝５，９の場合
き＝９，う＝１，く＝９のように、異なる平仮名に同じ数字が入ることはない。
き＝う＝３，き＝う＝７も同じ理由から成立しない。従って、掛け算の一桁目が９となるパターンは成立しない。く≠９
同じ理由から、く≠５である。
◆ く＝６～８の場合
「くう」は、６０～８９の範囲にある。従って、「か＝１」は確定である。なぜなら、「かき」が２０以上であるならば、答えは４桁となり、「きゃく」の桁数が合わないから。
か＝１の場合、き≧く＋１が確定する。なぜなら、繰り上がらなければ「きゃく」は「くゃく」になってしまうから。
● く＝６ ならば き＝７～９
一方、く＝６の組合せは２×３，２×８，４×９のいずれか。
１８×６２＝１１１６ ⇒ 桁数で不成立
１９×６４＝１２１６ ⇒ 桁数で不成立
● く＝７ ならば き＝８または９
一方、く＝７の組合せは３×９のみ
１９×７３＝１３８７ ⇒ 桁数で不成立
● く＝８ ならば き＝９
一方、く＝８の組合せは２×４，２×９，３×６，４×７，６×８のいずれか。
１９×８２＝１５５８ ⇒ 桁数で不成立
◆ く＝４の場合
「くう」は、４０～４９の範囲にある。従って今までと同じ桁数の理由から、
「か＝１または２」である。
一方、く＝４の組合せは、２×７，３×８，６×９のいずれか。
● か＝１ ならば き≧４（繰り上がるかもしれないから）
１７×４２ ＝ ７１４ ⇒ 「か＝や」となって不成立
１８×４３ ＝ ７７４ ⇒ 「き＝や」となって不成立
１６×４９ ＝ ７８４ ⇒ 「き＝６且つ７」で不成立
１９×４６ ＝ ８７４ ⇒ 「き＝８且つ９」で不成立
● か＝２ ならば き≧８（繰り上がるかもしれないから）
２８×４３＝１２０４ ⇒ 桁数で不成立
２９×４６＝１３３４ ⇒ 桁数で不成立
以上のことから、く≠４である。
◆ く＝３の場合
「くう」は、３０～３９の範囲にある。従って今までと同じ桁数の理由から、
「か＝１～３」である。しかし既に「く＝３」であるため、「か≠３」である。
従って、「か＝１または２である」。
一方、く＝３の組合せは、７×９の一通り。
１７×３９ ＝ ６６３ ⇒ き＝やになるなどして不成立
１９×３７ ＝ ７０３ ⇒ き＝７および９となって不成立
２７×３９ ＝ １０５３ ⇒ 桁数で不成立
２９×３７ ＝ １０７３ ⇒ 桁数で不成立
以上のことから、く≠３である。
◆ く＝２の場合
「くう」は、２０～２９の範囲にある。従って今までと同じ桁数の理由から、
「か＝１，３，４」である。
一方、く＝２の組合せは３×４，４×８，６×７，８×９の４通り。
１３ × ２４ ＝ ３１２ ⇒ 「か＝や」となって不成立
１４ × ２３ ＝ ３２２ ⇒ 「や＝く」となって不成立
１４ × ２８ ＝ ３９２ ⇒ 「き＝３且つ４」で不成立
１８ × ２４ ＝ ４３２ ⇒ 「き＝４且つ８」で不成立
１６ × ２７ ＝ ４３２ ⇒ 「き＝４且つ６」で不成立
１７ × ２６ ＝ ４４２ ⇒ 「き＝や」となって不成立
１８ × ２９ ＝ ５２２ ⇒ 「や＝く」となって不成立
１９ × ２８ ＝ ５３２ ⇒ 「き＝５且つ９」で不成立
３４ × ２８ ＝ ９５２ ⇒ 「き＝４且つ９」で不成立
３８ × ２４ ＝ ９１２ ⇒ 「き＝８且つ９」で不成立
３６ × ２７ ＝ ９７２ ⇒ 「き＝６且つ９」で不成立
３７ × ２６ ＝ ９６２ ⇒ 「き＝７且つ９」で不成立
３８ × ２９ ＝ １１０２ ⇒ 桁数で不成立
３９ × ２８ ＝ １０９２ ⇒ 桁数で不成立
か＝４の場合、数字の重複などから、組合せは６×７と８×９
４５ × ２５ ＝ １１２５ ⇒ 桁数で不成立
であることから、当該組合せは全て桁数で不成立
以上のことから、く≠２である。
◆ く＝１の場合
く＝１の組合せは、３×７の一通り。９×９は「き＝う」で不成立
２３ × １７ ＝ ３９１ ⇒ 成立
５７ × １３ ＝ ７４１ ⇒ 成立
以上のことから、答えは以下の二通り。
本当は「く＝１」から始めれば、直ぐに答えに辿り着く。ただ二通りある時点で、「３つ目の答えが無い」と断言できなかったため、敢えて反対側から求めてみた。
参考まで。
