選び直すべきか否か(モンティ・ホール問題)

先日偶然に、モンティ・ホール問題の存在を知った。
今更ですか?すみません、今まで知りませんでした。

ja.wikipedia.org

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?」

この問題は、ドアを変更するのが正解とのこと(当たる確率が2倍になるから)。

  1. 一つ目の選択が間違っている確率は2/3。このとき残りのドアは、当たりと外れが一枚ずつ残っている。司会者は外れのドアを開くため、残りのドアは必ず当たりになる。従って、変更すれば2/3の確率で当たりとなる。
  2. 一つ目の選択が正しい確率は1/3。従って、上記と同じ理屈から、変更しなければ1/3の確率で当たりとなる。

そこで今回Excelで、これを簡易確認してみた。まずは問題を作成してみよう。
こちらの例では、1万回のパターンを作成している。

  • 0 ⇒ 外れ
  • 1 ⇒ 当たり

と読み替えて欲しい。

Sub ThreeChoice()

    ' 三択作成
    Dim arr(1 To 10000, 1 To 4)
    Dim i As Long
        For i = 1 To UBound(arr)
            arr(i, 1) = i
            ' まず、全て0(=外れ)にする。
            arr(i, 2) = 0
            arr(i, 3) = 0
            arr(i, 4) = 0
   ' 2~4番目のうちの一つを、無作為に1(=当たり)にする。
            arr(i, WorksheetFunction.RandBetween(2, 4)) = 1
        Next
        Range("A1").Resize(UBound(arr, 1), UBound(arr, 2)) = arr
    
End Sub

出来た。
f:id:Infoment:20190808230126p:plain

仮に回答者は、B列を選んだとする。すると司会者は、CまたはD列のうち、どちらか一方の外れ(=0のセル)を開くことになる。このとき、ドアを変更して正解になるということは、もう一方のセルが「1」ということ。
従って今回、C+D=1のセルが全体に占める割合を求めれば、変えるべきか否かが見えてくるのでは?と考えた。
f:id:Infoment:20190808230742p:plain

結果は以下のとおり。

回数 C+D=1の数 全体の数 百分率
1回目 6659 10000 66.6%
2回目 6664 10000 66.6%
3回目 6661 10000 66.6%
4回目 6690 10000 66.9%
5回目 6635 10000 66.4%
6回目 6696 10000 67.0%
7回目 6607 10000 66.1%
8回目 6719 10000 67.2%
9回目 6672 10000 66.7%
10回目 6653 10000 66.5%



ダメもとでやってみたら、何だかそれっぽい結果になってしまった。
この方法が数学的に正しいかどうか、実は全く自信が無い。
でも、面白かったので良しとしよう。


という訳で、今回は参考にしないでください。