選び直すべきか否か（モンティ・ホール問題）

先日偶然に、モンティ・ホール問題の存在を知った。
今更ですか？すみません、今まで知りませんでした。

ja.wikipedia.org

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？」

この問題は、ドアを変更するのが正解とのこと（当たる確率が２倍になるから）。

1. 一つ目の選択が間違っている確率は２／３。このとき残りのドアは、当たりと外れが一枚ずつ残っている。司会者は外れのドアを開くため、残りのドアは必ず当たりになる。従って、変更すれば２／３の確率で当たりとなる。
2. 一つ目の選択が正しい確率は１／３。従って、上記と同じ理屈から、変更しなければ１／３の確率で当たりとなる。

そこで今回Excelで、これを簡易確認してみた。まずは問題を作成してみよう。
こちらの例では、１万回のパターンを作成している。

• ０ ⇒ 外れ
• １ ⇒ 当たり

と読み替えて欲しい。

Sub ThreeChoice()

    ' 三択作成
    Dim arr(1 To 10000, 1 To 4)
    Dim i As Long
        For i = 1 To UBound(arr)
            arr(i, 1) = i
            ' まず、全て０（＝外れ）にする。
            arr(i, 2) = 0
            arr(i, 3) = 0
            arr(i, 4) = 0
　　　' ２～４番目のうちの一つを、無作為に１（＝当たり）にする。
            arr(i, WorksheetFunction.RandBetween(2, 4)) = 1
        Next
        Range("A1").Resize(UBound(arr, 1), UBound(arr, 2)) = arr
    
End Sub

出来た。

仮に回答者は、Ｂ列を選んだとする。すると司会者は、ＣまたはＤ列のうち、どちらか一方の外れ（＝０のセル）を開くことになる。このとき、ドアを変更して正解になるということは、もう一方のセルが「１」ということ。
従って今回、Ｃ＋Ｄ＝１のセルが全体に占める割合を求めれば、変えるべきか否かが見えてくるのでは？と考えた。

結果は以下のとおり。

回数	C+D=1の数	全体の数	百分率
１回目	6659	10000	66.6%
２回目	6664	10000	66.6%
３回目	6661	10000	66.6%
４回目	6690	10000	66.9%
５回目	6635	10000	66.4%
６回目	6696	10000	67.0%
７回目	6607	10000	66.1%
８回目	6719	10000	67.2%
９回目	6672	10000	66.7%
１０回目	6653	10000	66.5%

ダメもとでやってみたら、何だかそれっぽい結果になってしまった。
この方法が数学的に正しいかどうか、実は全く自信が無い。
でも、面白かったので良しとしよう。

という訳で、今回は参考にしないでください。