久しぶりの加法定理 - Infomentのブログ～Excel VBA奮闘記～

５月の連休中に長男（高２）の数学で、久しぶりに加法定理と再会した。

$sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ$
$cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ$

これを用いると、↓のようなお絵かきマクロに必要な値を求めることができる。

点Ｐを中心に点Ｑ1を $β°$ 回転させたときの点Ｑ2の座標。

まず、基本に立ち返ってみる。下図においては、定義により次が成立する。

$\dfrac{x}{r}=cosθ, 　\dfrac{y}{r}=sinθ$
両辺に $r$ を掛けて、
$x=rcosθ,　y=rsinθ$

では、この場合はどうだろう。

Q1がｘ軸からα回転したものであるとき、Q2はｘ軸からα＋β回転するわけだから、
先程の結果から考えると以下が成立する。
$qx_{\mathrm{2}}=px+rcos(α+β),　qy_{\mathrm{2}}=py+rsin(α+β)$

ここで加法定理を用いると、次のように変形できる。
$qx_{\mathrm{2}}=px+rcos(α+β)=px+rcosαcosβ-rsinαsinβ=px+dxcosβ-dysinβ$
$qy_{\mathrm{2}}=py+rsin(α+β)=py+rsinαcosβ+rcosαsinβ=py+dycosβ+dxsinβ$
角度αを求めなくとも、
$rcosα=dx,　rsinα=dy$
であるから、加法定理の中身からαに関する部分が消えて、そこそこシンプルに
なってくれるわけで。

ということで、例えば ↓ こんな具体例で、Q2の座標を求めてみよう。

結果がこちら。多分、合ってると思う。

参考まで。