点と直線の距離 - Infomentのブログ～Excel VBA奮闘記～

最近のベクトルの勉強し直しを切っ掛けに、自分が知る「点と直線の距離」の
求め方を整理してみた。

今回は、下記の直線Ｌと点Ａの距離を例題として、３つの方法を纏めてみる。

① 直行する直線を求めてから交点を求める方法（中３）

中学までの知識で求めるなら、これか。

点Ａを通り、直線Ｌに直行する直線Ｍを求める。
直線Ｌと直線Ｍの交点Ｂを求める。
点Ａと点Ｂの距離を、三平方の定理で求める。

まず、直行する直線の傾き同士を掛けた答えは「-1」であるから、直線Ｍは
次のように表せる。
$3x-4y+c=0$
この直線は点 $A(2,3)$ を通るから、この座標を代入して
$3×2-4×3+c=0$ より $c=6$
$∴3x-4y+6=0$
この二つを連立方程式として解けば、 $B(-2,0)$ となる。

最後に三平方の定理を用いて、下記のとおり求まる。
$AB=\sqrt{\left\{ 2-\left( -2\right) \right\} ^{2}+\left( 3-0\right) ^{2}}=\sqrt{25}=5$

一番わかりやすい方法と思う。

② 点と直線の距離を求める公式（高１）

ずばり、公式に代入してダイレクトに求める。
manabitimes.jp
$AB=\dfrac{|4\times 2+3\times 3+8|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\dfrac{25}{\sqrt{25}}=5$

最も単純で、計算ミスも起きにくいと思う。ただし、公式を丸暗記すると忘れがちなので、一度は自分で導出しておいた方が良いかも。

③ 法線ベクトルを用いる（高２）

先日ベクトルを復習して、そういえばこんな方法もあったことを思い出した。

法線ベクトルを求める。
ＡＢベクトルが法線ベクトルのｋ倍であることから、点Ｂの座標を求める。
以下、①と同様。

直線Ｌの法線ベクトルは、
$\overrightarrow{n}=(4,3)$
また、 $B(s,t)$ とするとき、 $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{n}$ であることから、
$\begin{cases}s-2=4k\\ t-3=3k\end{cases}$
kを取り除いて
$3s-4t=-6$
$B(s,t)$ は直線Ｌ上の点であるから、
$4s+3t=-8$
この二つを連立すれば、点Ｂの座標が求まる。
$s=-2,t=0$
あとは、①と同じ。